Table of Contents
قانون فيثاغورس من أشهر قوانين الرياضيات والذي يستخدم بشكل أساسي في المثلثات القائمة ، تعرف على هذا القانون الذي أُثبتت صحته نظريات متعددة وعلماء مشهورين بالإضافة الى بعض الأمثلة الرياضية عنه .
سمي قانون فيثاغورس على اسم الفيلسوف اليوناني فيثاغورس الذي ولد حوالي 570 عام قبل الميلاد.
تم استخدام البراهين الهندسية و الجبرية لإثبات صحة هذه النظرية، و يعود بعض هذه البراهين إلى آلاف السنين.
تعددت وجهات النظر حول قانون فيثاغورس أو نظرية فيثاغورس فيما إذا كان قد اكتشف من قبل شخص أو عدة أشخاص، حيث أن تاريخ الاكتشاف غير مؤكد، كما هو الحال بالنسبة لتاريخ أول برهان للقانون.
انتشرت قوانين فيثاغورس عند البابليين في بلاد ما بين النهرين، في القرنين العشرين و السادس عشر قبل الميلاد، أي قبل ألف عام من ولادة فيثاغورس.
يذكر الفيلسوف و عالم الرياضيات بروكلوس في القرن الخامس الميلادي قاعدتين حسابيتين، القاعدة الأولى نسبها إلى أفلاطون، و الثانية إلى فيثاغورس.
شكك توماس إلهيث بإسناد هذه النظرية إلى فيثاغورس و لكن عاد مؤلفون و علماء و أكدوا على نسبها إليه، حيث نسب مؤلفون مثل بلوتارخ و شيشرون هذه النظرية إلى فيثاغورس.
يعتقد البعض أن النظرية نشأت في الصين وكانت تسمى نظرية شانغ جاو نسبةً إلى اسم عالم الفلك و الرياضيات. كما تبين الألواح الرقمية القديمة أن مصر و بلاد ما بين النهرين و الهند قد استخدموا النظرية.
يقسم تاريخ نظرية فيثاغورس إلى أربعة أقسام و هي : ثلاثية فيثاغورس، و معرفة العلاقة بين أضلاع المثلث القائم، و العلاقات بين الزوايا المتجاورة في المثلث القائم، و براهين النظرية.
قانون فيثاغورس
ينص قانون فيثاغورس على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين.
a² + b² = c²
إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام نظرية المثلثات المتشابهة
المثلث ABC مثلث قائم، يجب أن نثبت أن مربع طول الوتر AB يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين AC, CB.
نقوم بإنشاء الارتفاع CH من النقطة C ،ينشأ عن ذلك المثلثين AHC, CHB.
و بما أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة أي زاويتين قائمتين فإن :
- مجموع زوايا ABC هي 180 درجة.
- مجموع زوايا AHC هي 180 درجة.
- مجموع زوايا CHB هي 180 درجة.
و بالتالي فإن الزاوية CBA تساوي الزاوية ACH.
و الزاوية HCB تساوي الزاوية HAC.
لذلك المثلثان AHC و CHB متشابهان. و بالاعتماد على نظرية تناسب الأضلاع في المثلثات المتشابهة التي تنص على أن اي ضلعين متطابقين في مثلثين متشابهين لهما نفس النسبة بغض النظر عن حجم المثلثين.
فإن نسب الأضلاع بين المثلثين هي :
- BC /AB = BH / BC
- AC /AB = AH /AC
و عند تطبيق جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين في كل معادلة نحصل على :
- BC *BC = AB * BH
أما بالنسبة للمعادلة الثانية فإن :
AC *AC = AB *AH
عند جمع الطرف الأول من المعادلة الأولى مع الطرف الأول من المعادلة الثانية، و جمع الطرف الثاني في كل من المعادلتين نحصل على المعادلة التالية :
BC *BC + AC *AC = AB *( BH + AH)
و بما أن AH, BH يشكلان الضلع AB يمكن اختصار المعادلة على النحو التالي :
BC ²+ AC ² = AB ²
أي أن مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين في المثلث القائم يساوي مربع طول الضلع الثالث الذي يسمى الوتر.
برهان أينشتاين
قام أينشتاين بالبرهان على صحة نظرية فيثاغورس بتقسيم المثلث القائم إلى مثلثين قائمين و متشابهين من خلال إسقاط ارتفاع على الوتر من الرأس القائم للمثلث.
حيث أن مجموع مساحتي المثلثين المتشابهين يساوي مساحة المثلث الأصلي.
نسبة مساحة المثلث القائم الزاوية إلى مربع طول الوتر الخاص به هي نفسها للمثلثات المتشابهة.
العلاقة بين مساحات المثلثات الثلاثة هي نفسها العلاقة بين مربعات أضلاع المثلث الأصلي.
قد يهمك:
إقليدس
في الهندسة الإقليدية تنص نظرية فيثاغورس على أن المربع الذي يكون ضلعه الوتر في المثلث القائم، فإن مساحته تساوي مجموع مساحات المربعات في الضلعين الآخرين، و يعبر عن ذلك بالمعادلة التالية :
C² =a² + b²
يمكن تعميم هذه النظرية لتشمل المساحات ذات الأبعاد الكبيرة و المساحات غير الإقليدية.
أمثلة رياضية
مثلث قائم طول الضلعين القائمتين فيه 3 و 4، و المطلوب حساب طول الوتر.
بالاعتماد على نظرية فيثاغورس فإننا نستطيع حساب مربع طول الوتر بجمع مربعي طولي الضلعين القائمتين .
C² =a² + b²
و بالتالي فإن مربع طول الوتر = 9 + 16 = 25
و بالتالي طول الوتر هو الجذر الربيعي ل 25 أي يساوي 5.
مثال آخر :
مثلث قائم الزاوية طول الوتر فيه 10 سم، و طول أحد الضلعين القائمتين هو 8 سم، المطلوب حساب طول ضلع المثلث القائم الآخر.
C² =a² + b²
100 = 64 + b²
b² = 100 – 64 =36
b = 6 سم.
و هو طول الضلع القائم الآخر.
مثال آخر :
مثلث أطوال أضلاعه هي 10 سم، 24 سم، 26 سم. هل المثلث قائم أو لا؟
باستخدام نظرية فيثاغورس فإن : C² =a² + b²
c² = 26² = 676
a² + b² =24² + 10² = 676
و بذلك تحقق الشرط C² =a² + b² أي أن المثلث قائم.
مثال آخر :
مثلث أطوال أضلاعه 5 سم، 12 سم، 13 سم
هل المثلث قائم؟
الوتر هو 13 سم لأنه الطول الأكبر.
c² = 13² = 169
a² + b² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
تحقق شرط نظرية فيثاغورس أي أن المثلث قائم.
مثال آخر :
مربع طول ضلعه 4 سم، المطلوب حساب طول قطر المربع.
الحل :
قطر المربع يقسمه إلى مثلثين قائمين، طول الضلعين القائمتين في كل مثلث هو 4 سم.
قطر المربع هو الوتر في هذين المثلثين و يتم حساب طوله حسب نظرية فيثاغورس :
C² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
و هو مربع طول الوتر، لذلك طول الوتر هو الجذر التربيعي ل 32.
مثال آخر :
مثلث قائم طول ضلعيه القائمتين 24 سم، 7 سم و المطلوب حساب طول الوتر.
الحل :
حسب نظرية فيثاغورس فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمتين أي :
C² =a² + b²
أي أن :
a² + b² = 49 + 576 = 625
أي أن مربع طول الوتر هو 625 و بالتالي طول الوتر هو الجذر التربيعي أي 25 سم.
قد يهمك:
توضيح حول قانون فيثاغورس
1- لا يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على أي مثلث، و هي تنطبق فقط على المثلث القائم الزاوية.
2- تستخدم نظرية فيثاغورس لتحديد ما إذا كان مثلث قائم الزاوية أم لا.
3- تفيد نظرية فيثاغورث في حساب أطول أضلاع مثلث قائم الزاوية كما رأينا في الأمثلة السابقة، أي حساب طول أحد أضلاع المثلث القائم عندما نعلم طولي الضلعين الباقيين.
4- تستخدم نظرية فيثاغورس من قبل المهندسين في مجال البناء، كما يمكن استخدامها لإيجاد المسافة بين الراصد على برج أو مبنى و بين نقطة على الأرض.
كما تستخدم لتحديد ما إذا كان مثلث قائم الزاوية أم لا عندما نعرف أطول أضلاعه.
5- تستخدم نظرية فيثاغورس في كاميرات المراقبة للتعرف على الوجوه في الكاميرات الأمنية، حيث يمكن تحديد المسافة بين الكاميرا و موقع الشخص من خلال عدسة الكاميرا.
6- يستخدم قانون فيثاغورس عند الذين يسافرون في البحر، حيث يستطيعون تحديد أقصر مسافة للذهاب إلى مكان معين.
قد يهمك:
المراجع :
